Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке [1/4;9] , y=2/x -4/sqrt(x)+7

Имеем функцию:

y = 2/x -4/x^(1/2) + 7.

Для нахождения значений функции на определенном промежутке необходимо найти производную функции:

y = 2 * x^(-1) - 4 * x^(-1/2) + 7;

y' = -2 * x^(-2) + 2 * x^(-3/2);

Найдем критические точки функции, приравняв производную функции к нулю:

2 * x^(-3/2) - 2 * x^(-2) = 0;

2 * x^(-3/2) * (1 - x^(-1/2)) = 0;

Первый множитель нулю не равен, значит:

x^(-1/2) = 1;

x^(1/2) = 1;

x = 1 - критическая точка, входит в промежуток.

Находим значения функции от критической точки и границ промежутка:

y(1/4) = 2 * 4 -4 * 2 + 7 = 7;

y(1) = 2 - 4 + 7 = 5;

y(9) = 2/3 - 4/3 + 7 = 19/3.

Разность наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке равна 7 - 5 = 2.