Найдите сторону вписанного в окружность радиуса r правильного n-угольника, если около этой окружности описан правильный n-угольник со стороной равной b.

1. Радиус окружности, вписанной в правильный n-угольник находится по формуле: r = S/p, где S — площадь n-угольника, p — полупериметр n-угольника. Площадь правильного n-угольника вычисляется по формуле: S = n/4 * b² * ctg(π/n), где b — длина стороны n-угольника, n — количество сторон. Полупериметр правильного n-угольника равен: p = P/2 = (n * b)/2. Таким образом: r = (n/4 * b² * ctg(π/n)) : ((n * b)/2) = (n/4 * b² * ctg(π/n)) * (2/(n * b)) = (n * b² * ctg(π/n) * 2)/(4 * n * b) = (b * ctg(π/n))/2. 1. Площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле: S = (n * r² * sin (2π/n))/2, где r — радиус описанной окружности. Таким образом, площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса r, равна: S = (n * ((b * ctg(π/n))/2)² * sin (2π/n))/2 = (n * (b² * ctg²(π/n))/4 * sin (2π/n))/2 = (n * b² * ctg²(π/n) * sin (2π/n))/8. 1. Также вычислим площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса r, через его сторону: S = n/4 * x² * ctg(π/n). Следовательно: (n * b² * ctg²(π/n) * sin (2π/n))/8 = n/4 * x² * ctg(π/n); (n * b² * ctg²(π/n) * sin (2π/n))/8 = (n * x² * ctg(π/n))/4; x² = (4 * n * b² * ctg²(π/n) * sin (2π/n))/(8 * n * ctg(π/n)) (по пропорции); x² = (b² * ctg(π/n) * sin (2π/n))/2. По формулам двойного угла: sin (2π/n) = 2 * sin(π/n) * cos(π/n). Из определения котангенса: ctg(π/n) = cos(π/n)/sin(π/n). Таким образом: x² = (b² * cos(π/n)/sin(π/n) * 2 * sin(π/n) * cos(π/n))/2 = b² * cos(π/n) * cos(π/n) = b² * cos²(π/n); x = √(b² * cos²(π/n)); x = b * cos(π/n). Ответ: x = b * cos(π/n).