Найдите значение функции f(x)=x^3+2,5x^2-2x в точке максимума

1. Рассмотрим функцию f(x) = x³ + 2,5 * x² – 2 * x. Очевидно, что данная функция определена для всех x ∈ (–∞; +∞). Требуется найти значение данной функции в точке максимума. Воспользуемся дифференциальным исчислением. Вначале вычислим производную данной функции. Имеем: f'(x) = (x³ + 2,5 * x² – 2 * x)' = (x³)' + (2,5 * x²)' – (2 * x)' = 3 * x² + 2 * 2,5 * x - 2 * 1 = 3 * x² + 5 * x - 2.
2. Приравнивая к нулю производную, определим стационарные точки. Для этого решим уравнение 3 * x² + 5 * x - 2 = 0.
3. Найдем дискриминант составленного квадратного уравнения: D  = 5²– 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49.
4. Поскольку дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Вычислим их: x₁= (-5 - √(49)) / (2 * 3) = (-5 – 7) / 6 = -12 / 6 = -2 и x₂ = (-5 + √(49)) / (2 * 3) = (-5 + 7) / 6 = 2 / 6 = 1/3.
5. Итак, нашли две стационарные точки: x₁= -2 и x₂ = 1/3. Рассмотрим значение (точнее, знак значения) производной f'(x) = 3 * x² + 5 * x - 2 в произвольных точках следующих множеств:  (–∞; -2), (–2; 1/3) и (1/3; +∞). Очевидно, что f'(x) > 0 при x ∈ (–∞; -2); f'(x) < 0 при x ∈ (–2; 1/3) и f'(x) > 0 при x ∈ (1/3; +∞).
6. Следовательно, данная функция имеет локальный максимум в точке х₁ = –2, а в точке х₂ = 1/3 – локальный минимум. По требованию задания, вычислим f(-2) = (-2)³ + 2,5 * (-2)² – 2 * (-2) = -8 + 2,5 * 4 + 4 = 6.

Ответ: 6.