найти наименьшее значение функции e^2x-3e^x+2 на [0;3]

Для нахождения наименьшего значения функции, сначала находим производную функции. 

y ' = (e^2x - 3 * e^x + 2) ' =  e^(2 * x) * 2 - 3 * e^x = 2 * e^2x - 3 * e^x. 

Затем, производную функции приравняем к 0 и найдем корни уравнения. Проверяем, принадлежат ли корни уравнений отрезку. Выбираем те корни, которые принадлежат отрезку [0; 3]. 

2 * e^2x - 3 * e^x  = 0; 

e^x * (2 * e^x - 3) = 0; 

2 * e^x = 3; 

e^x = 3/2; 

x = ln (3/2); 

Затем находим значение функции в точках отрезках, и в точках корней, принадлежащих отрезку. Из найденных значений выбираем наименьшее значение функции в точке.      

y (0) = e^(2 * 0) - 3 * e^0 + 2 = 1 - 3 + 2 = -2 + 2 = 0; 

y (3) = e^(2 * 3) - 3 * e^3 + 2. 

Ответ: y min = 0.