Найти наименьшее значение функции: y=Ιx-2Ι+Ιx+5Ι

1. Прежде всего, отметим, что функция f(x) = |х| определена на всей числовой прямой (–∞; +∞). Согласно определения и свойств абсолютной величины (модуля), для любого х ∈ (–∞; +∞) выполняется неравенство |х| ≥ 0, то есть 0 ≤ |х| < +∞. Это означает, что функция f(x) = |х| при х = 0 принимает наименьшее значение, равное 0.
2. Следовательно, функция f(x) = |х – 2| принимает наименьшего значения 0 в точке х₁ = 2. Поскольку, при х₁ = 2, второе слагаемое |x + 5| в заданной функции, принимает значение |2 + 5| = 7, то в точке х₁ = 2 имеем y₁ = 0 + 7 = 7.
3. Аналогично, функция f(x) = |х + 5| принимает наименьшего значения 0 в точке х₂ = –5. Поскольку, при х₂ = –5, первое слагаемое |x – 2| в заданной функции, принимает значение |–5 – 2| = 7, то в точке х₂ = –5 имеем y₂ = 7 + 0 = 7.
4. Следует отметить, что этого результата можно было достичь, разбивая числовую прямую (–∞; +∞) на 3 части: (–∞; –5], (–5; 2) и [2; +∞). Легко заметить, что при х ∈ (–∞; –5] данная функция у = –х – 5 – х + 2 = –2 * х –3 и она принимает наименьшее значение у = 7 при х = –5. При х ∈ (–5; 2) данная функция у = х + 5 – х + 2 = 7 – постоянная величина. Если х ∈ [2; +∞), то данная функция у = х + 5 + х – 2 = 2 * х + 3 и она принимает наименьшее значение у = 7 при х = 2.
5. Таким образом, наименьшее значение функции y = |x – 2| + |x + 5| равно 7.

Ответ: Наименьшее значение функции y = |x – 2| + |x + 5| равно 7.