Найти наименьший член последовательности xn=n^2-4n-5

1. Дана последовательность чисел, общий член которой задан формулой x_n = n² – 4 * n – 5, где n – натуральное число. Для того, чтобы, по требованию задания, найти наименьший член данной последовательности, рассмотрим квадратный трёхчлен х² – 4 * х – 5, где х – действительное число, точнее функцию у(х) = х² – 4 * х – 5 при х ∈ (1; +∞).
2. Используя производную этой функции, найдём экстремальные точки функции у(х). Имеем: уꞋ(х) = (х² – 4 * х – 5)Ꞌ = 2 * х – 4. Приравнивая производную к нулю, составим и решим уравнение: 2 * х – 4 = 0. Имеем: 2 * х = 4, откуда х = 4 : 2 = 2 ∈ (1; +∞)..
3. Поскольку уꞋ(х) < 0 при х < 2, а при x > 2 справедливо уꞋ(х) > 0, то функция у(х) при х = 2 принимает наименьшее значение у(2) = 2² – 4 * 2 – 5 = 4 – 8 – 5 = -9. Заметим, что 2 – натуральное число.
4. Следовательно, данная последовательность чисел с общим членом x_n = n² – 4 * n – 5, где n – натуральное число, принимает наименьшее значение при n = 2 и это значение равно -9.

Ответ: -9.