Найти наименьший положительный период функции у=cos2x

Сделаем подстановку 2х = t и рассмотрим функцию у = cos(t).

Поскольку функция  у = cos(t) является периодической с наименьшим положительным периодом, равным 2π, то выполняется следующее соотношение:

cos(t) = cos(t + 2π).

Возвращаясь к сделанной подстановке, получаем следующее соотношение:

cos(2х) = cos(2х + 2π) = cos(2 * (х + π)).

Следовательно, функция у = cos(2х) является периодической с периодом, равным π.

Покажем, что данные период является наименьшим положительным.

Допустим, существует положительный период данной функции, меньший чем π.

Пусть этот период равен T.

Тогда должно выполняться следующее соотношение:

cos(2х) = cos(2(х + Т))  = cos(2х + 2Т) .

Следовательно, число 2Т должно являться периодом функции у = cos(t).

Однако такого не может быть, поскольку 2Т < 2π, а число 2π является наименьшим положительным периодом функции у = cos(t).

Следовательно, π является наименьшим положительным периодом функции у = cos(2х).

Ответ:  наименьший положительный период функции у=cos2x равен π.