Найти производную по определению: у=1/х^2

По условию задачи нам необходимо вычислить производную функции у = 1 / x². Для этого будем использовать основные формулы и правила дифференцирования.

Формулы и правила для вычисления производной

• (с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции);
• (xⁿ)’ = n* x^(n-1) (производная основной элементарной функции);
• (u / v)’ = (u’v - uv’) / v² (основное правило дифференцирования).

Вычисление производной 1способ

Найдём производную функции: у = 1 / x².

Эту функцию можно записать следующим образом: у = x^(-2).

Используя, формулы и правила для вычисления производной, дифференцируем функцию почленно, а именно:

• вычислим производную от «x^(-2)» :
• производная от «x^(-2)» – это будет «- 2 * x^(-2-1) = - 2x^(-3)»;
• следовательно, у нас получается, что (x^(-2))’ = - 2x^(-3).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

у’ = (1 / x²)’ = (x^(-2))’ = - 2x^(-3) = - 2 / x³.

Следовательно, наша производная данной функции будет выглядеть следующим образом:

у’ = - 2 / x³.

Вычисление производной 2способ

Найдём производную функции: у = 1 / x².

Для данной функции, чтобы найти производную будем использовать правило дифференцирования частного, а именно:

y' = ((1)’ * (x²) - 1 * (x²)’) / (x²)².

Вычислим производную от «x²» : производная от «х²» – это будет «2 * x^(2-1) = 2х», следовательно, у нас получается, что (x²)’ = 2 * х= 2х.

Вычислим производную от «1»: производная от «1» – это будет «0», следовательно, у нас получается, что (1)’ = 0.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

у’ = ((1)’ * (x²) - 1 * (x²)’) / (x²)² = (0 * (x²) - 1 * 2х) / (x²)² = (0 - 2х) / x⁴ = - 2х / x⁴ = - 2 / x³.

Ответ: Производная функции у = 1 / x² будет (у)’ = - 2 / x³.

Для того, чтобы найти производную функции у = 1/х ^ 2, используем формулу производной (x ^ n) ' = n * x ^ (n - 1). То есть получаем: у ' = (1/х ^ 2) ' = (x ^ (- 2)) ' = - 2 * x ^ (- 2 - 1) = - 2 * x ^ (- 3) = - 2 * 1/x ^ 3 = - 2/x ^ 3; В итоге получили, y ' = - 2/x ^ 3; Ответ: y ' = - 2/x ^ 3.