Найти точку М, равноудалённую от трёх точек А(2;2), В(-5;1), С(3,-5)

1. Рассмотрим декартовую систему координат Оху и на ней точки А(2; 2), В(-5; 1) и С(3, -5) (См. http://bit.ly/ZTopsh4828). По требованию задания, найдём координаты точки М, равноудалённую от данных трёх точек А, В и С. Обозначим координаты точки М через х и у.
2. Поскольку точка М равноудалена от точек А, В и С, то выполняются равенства АМ = ВМ = СМ. Используя формулу вычисления расстояния между двумя точками, имеем: АМ = √((х – 2)² + (у – 2)²), ВМ = √((х – (-5))² + (у – 1)²) и АМ = √((х – 3)² + (у – (-5))²). Возводя в квадрат обе стороны каждого равенства, получим: (х – 2)² + (у – 2)² = (х + 5)² + (у – 1)² = (х – 3)² + (у + 5)².
3. Раскроем скобки и упростим: х² - 4 * х + 4 + у² - 4 * у + 4 = х² + 10 * х + 25 + у² - 2 * у + 1 = х² - 6 * х + 9 + у² + 10 * у + 25 или -2 * х – 2 * у = 5 * х – у + 13 = -3 * х + 5 * у + 17.
4. Из первого равенства, получим у = -7 * х – 9, а из последнего: 3 * у = 4 * х – 2. Тогда 3 * (-7 * х – 9) = 4 * х – 2, откуда х = -1. Следовательно, у = -7 * (-1) – 9 = -2.

Ответ: М(-1; -2).