Несколько восьмиклассников при встрече приветствовали друг друга рукопожатиями.Сколько учащихся встретилось,если рукопожатий было 45?

Если идти по пути допущений, и допустить, что было 10 учащихся, то каждый сделал 9 рукопожатий. При этом общее количество пожатых рук = 90, а т.к. в рукопожатии участвует 2 руки 90/2 = 45. Т.е. предположение верное, и учащихся было 10

Задачу можно решить двумя способами: подбором и с помощью составления уравнения.

Решим задачу подбором

Предположим, что количество восьмиклассников равно 5.

• 1-й здоровается с 2, 3, 4 и 5 - 4 рукопожатия.
• 2-й здоровается с 3, 4 и 5 (с первым ему уже не надо здороваться) - 3 рукопожатия.
• 3-й здоровается с 4 и 5 (с остальными он уже здоровался) - 2 рукопожатия.
• 4-й - только с пятым - 1 рукопожатие.
• А пятому уже не надо ни с кем здороваться. Итого 15 рукопожатий. 

Так как количество рукопожатий увеличивается в геометрической прогрессии, увеличим количество людей вдвое.

Пусть будет 10 восьмиклассников.

1-й здоровается с 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10-м (9 рукопожатий).

2-й - с 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (8 р.)

3-й - с 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (7 р.)

4-й - с 5, 6, 7, 8, 9, 10 (6 р.)

5-й - с 6, 7, 8, 9, 10 (5 рукопожатий)

6-й - с 7, 8, 9, 10 (4 р.)

7-й - с 8, 9, 10 (3 р.)

8-й - с 9 и 10-м (2 р.)

9-й - с 10-м (1 рукопожатие)

Итого: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 рукопожатий.

Ответ: 10 восьмиклассников.

Решим задачу с помощью уравнения

Пусть х -  это количество восьмиклассников. Тогда ему нужно поздороваться с (х - 1) людьми (сам с собой он здороваться не будет). Количество пар получается х(х - 1)/2. Всего рукопожатий было 45, получается уравнение:

х(х - 1)/2 = 45

Умножим все уравнение на 2.

х(х - 1) = 90

Раскроем скобки и перенесем 90 в левую часть уравнения.

х² - х - 90 = 0

Решаем уравнение с помощью дискриминанта.

D = 1 + 360 = 361 (√D = 19)

х₁ = (1 + 19)/2 = 10

х₂ = (1 - 19)/2 = - 9 (отрицательный корень, не подходит по условию) 

Ответ: 10 восьмиклассников.

Допустим, восьмикласники приходили по очереди. Когда подошел 2-й –состоялось 1 рукопожатие, Когда подешел 3-й – 2 рукопожатия с ранене прибывшими. Когда после 1-го подошел ученик n, состоялось n рукопожатий. Имеем арифметическую прогрессию: 1, 2, 3,…, n. 1-й член прогрессии — 1, число членов прогрессии (подошедших учеников) — n, последний член прогрессии —n (число пожатий с последним учеником). Сумма прогрессии 45, находим число членов прогрессии. S = ((1 + n) * n) / 2; 2S = n + n2; n2 + n - 90 = 0. n = (-1 + корень (1 + 90*4)) / 2 = 9. К 1-му подошло еще 9 учеников. Ответ: 10 учеников.