Определить точки перегиба графика функции f (x)=(x^2-1)^2

Чтобы найти точки перегиба графика функции f(x) = (x^2 - 1)^2, нужно выполнить следующие шаги: 1. Найти первую производную f'(x): Для этого используем правило производной сложной функции. Пусть u = x^2 - 1, тогда f(x) = u^2. Первая производная: f'(x) = 2u * u', где u' = 2x. Подставляя, получаем: f'(x) = 2(x^2 - 1) * 2x = 4x(x^2 - 1). 2. Найти вторую производную f''(x): Теперь найдем производную от f'(x): f'(x) = 4x(x^2 - 1). Используем правило произведения: f''(x) = 4(x^2 - 1) + 4x * (2x) = 4(x^2 - 1) + 8x^2 = 4(9x^2 - 1). 3. Найти точки перегиба: Точки перегиба находятся там, где вторая производная равна нулю или не существует. Установим f''(x) = 0: 4(9x^2 - 1) = 0. Делим обе стороны на 4: 9x^2 - 1 = 0. Решим уравнение: 9x^2 = 1, x^2 = 1/9, x = ±1/3. 4. Проверка изменения знака второй производной: Чтобы убедиться, что в этих точках действительно происходит изменение знака второй производной, проверим значения f''(x) в интервалах между найденными точками: - Для x < -1/3 (например, x = -1): f''(-1) = 4(9*(-1)^2 - 1) = 4(9 - 1) = 32 > 0. - Для -1/3 < x < 1/3 (например, x = 0): f''(0) = 4(9*0^2 - 1) = 4(-1) = -4 < 0. - Для x > 1/3 (например, x = 1): f''(1) = 4(9*1^2 - 1) = 4(9 - 1) = 32 > 0. Таким образом, вторая производная меняет знак в точках x = -1/3 и x = 1/3. Ответ: Точки перегиба графика функции f(x) = (x^2 - 1)^2 находятся в точках x = -1/3 и x = 1/3.