Основание пирамиды квадрат, сторона которого равна 4 см. Найдите боковые стороны пирамиды, если высота пирамиды 7 см.

Боковую сторону пирамиды можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковой стороной. Квадрат диагонали основания найдем как сумму квадратов двух соседних сторон основания: D2 = a2 + a2 = 2a2 = 2 * 42; D = √(2 * 42) = 4√2 см - диагональ основания данной пирамиды. Квадрат боковой стороны пирамиды равен сумме квадратов высоты и половины диагонали основания: L2 = (D/2)2 + h2; L = √ ((D/2)2 + h2) = √ ((2√2)2 + 72) = √ (4 * 2 + 49) = √ (8 + 49) = √57 ≈ 7,55 см.

В первую очередь, для наглядности необходимо начертить пирамиду. Стоит заметить, что пирамида должна быть правильная, то есть высота должна будет опущена четко в центр квадрата, что в основании пирамиды. В противном случае, задачу будет невозможно решить без дополнительных данных.

http://bit.ly/2gOhDCm

Дано:
AB = BC = CD = AD = 4 см
SO = 7 см

Найти:
SA - ?
SB - ?
SC - ?
SD - ?

При решении данной задачи необходимо знать:

• определение и свойства квадрата;
• теорему Пифагора;
• определение и свойства прямой пирамиды.

Решение:

Вычисления в плоскости основания пирамиды

1) По условию дан квадрат ABCD. Значит углы ABC = BCD = CDA = DAB = 90 градусов. Соответственно, диагонали квадрата образуют прямоугольные треугольники ABC, BCD, CDA, DAB. Поэтому, для нахождения длины диагоналей необходимо воспользоваться теоремой Пифагора - сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:
AC^2 = AB^2 + BC^2;
AC = √(AB^2 + BC^2) = √(2 * AB^2) = √(2 * 4^2) = 4√2 см;

2) Так как ABCD - квадрат, то его диагонали равны и делятся пополам:
AC = DB = 4√2 см;
AO = BO = CO = DO = AC / 2 = (4√2) / 2 = 2√2 см;

Нахождение граней пирамиды

3) Так как SO - высота, то углы AOS = BOS = COS = DOS = 90 градусов. Соответственно, треугольники AOS, BOS, COS, DOS - прямоугольные. А так как пирамида правильная, то треугольники эти равны между собой. И вновь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения боковых граней пирамиды, которые являются гипотенузами вышеупомянутых треугольников:
SA^2 = AO^2 + SO^2;
SA = √(AO^2 + SO^2) = √((2√(2))^2 + 7^2) = √(4 * 2 + 49) = √57 см;
SA = SB = SC = SD = √57 см.

Ответ: Боковые грани пирамиды SA = SB = SC = SD = √57 см.