Объем правильной четырехугольной пирамиды находится по формуле:
V = 1/3 * Sосн. * H.
В нашем случаи, учитывая, что высота пирамида = 3, получаем: V = Sосн.
Sосн. = a^2, где а - сторона квадрата. Значит V = a^2.
Нам известно, что Sбок. = 4 * Sосн.
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды находится по формуле:
Sбок. = 1/2 * 4 * a * h, где h - высота одного из треугольников боковой поверхности (апофема).
Получаем: 2 * a * h = 4 * a^2;
2 * a^2 - a * h = 0
a * (2 * a - h) = 0. (*)
Найдем h из прямоугольного треугольника, составленного из высоты пирамиды, апофемы и перпендикуляра, опущенного из центра основания пирамиды к одной из сторон (=1/2 * a).
Тогда получим по теореме Пифагора: h^2 = H^2 + (a/2)^2.
Таким образом: h = корень (3^2 + (a/2)^2).
Подставляем в наше уравнение (*) и находим a^2 = V:
a * (2 * a - корень (3^2 + (a/2)^2)) = 0;
2 * a = корень (9 + (a^2)/4);
4 * a^2 = 9 + (a^2)/4;
16 * a^2 = 36 + a^2;
16 * a^2 - a^2 = 36;
15 * a^2 = 36;
a^2 = 36/15.
Таким образом:
V = a^2 = 36/15 = 2,4 м^3.
Ответ: V = 2,4 м^3.