Подскажите в чем заключается геометрический смысл скалярного произведения векторов? Очень много примеров как оно рассчитывается, но не понятно как его применять при решении геометрических задач

Скалярное произведение векторов применяется в основном для того, чтобы находить угол между векторами. Делается это следующим образом:

С одной стороны, скалярное произведение - это произведение длин векторов на косинус угла между ними.

С другой стороны, мы умеем находить скалярное произведение через координаты - оно равно х1х2 + у1у2, где {х1; у1} и {х2; у2} - координаты наших векторов.

А значит, чтобы найти косинус угла между векторами, надо их скалярное произведение разделить на произведение их длин (которые тоже можно найти через координаты).

Формула:

http://bit.ly/2AnsjjD

 

Пусть даны два ненулевых вектора, угол между ними острый, вектора отложены от одной точки. Соединим концы векторов отрезком. На этом отрезке как на диаметре построим окружность. Точка, от которой отложены наши векторы, лежит снаружи от этой окружности. Проведём через неё касательную к окружности. Рассмотрим отрезок, соединяющий нашу начальную точку и точку касания. Построим квадрат, для которого данный отрезок это сторона. Площадь этого квадрата это и есть скалярное произведение наших векторов.