Владимир6 лет назад
- Рассмотрим последовательность {аn}, общий член которого вычисляется по формуле аn = n * (2 * n + 1), где n – натуральное число. По требованию задания, докажем, что сумма Sn первых n членов данной последовательности может быть вычислена по формуле Sn = (n * (n + 1) * (4 * n + 5)) / 6.
- Для доказательства применим метод математической индукции. Сначала докажем, что при n = 1 справедлива приведённая формула. Ясно, что при n = 1 сумма S1 состоит из одного слагаемого а1, то есть, S1 = а1. Вычислим а1 = 1 * (2 * 1 + 1) = 1 * 3 = 3 и S1 = (1 * (1 + 1) * (4 * 1 + 5)) / 6 = (1 * 2 * 9) / 6 = 18/6 = 3. Действительно, S1 = 3 = а1.
- Теперь допустим, что приведённая формула верна для n = k, то есть, Sk = (k * (k + 1) * (4 * k + 5)) / 6. Докажем формулу при n = k + 1. Имеем: Sk + 1 = Sk + аk + 1 = (k * (k + 1) * (4 * k + 5)) / 6 + (k + 1) * (2 * (k + 1) + 1) = (k * (k + 1) * (4 * k + 5) + 6 * (k + 1) * (2 * k + 3)) / 6 = ((k + 1) * (k * (4 * k + 5) + 6 * (2 * k + 3)) / 6 = ((k + 1) * (4 * k² + 5 * k + 12 * k + 18)) / 6 = ((k + 1) * (4 * k² + 8 * k + 9 * k + 18)) / 6 = ((k + 1) * (4 * k * (k + 2) + 9 * (k + 2))) / 6 = ((k + 1) * (k + 1 + 1) * (4 * (k + 1) + 5)) / 6. Итак, Sk + 1 = ((k + 1) * (k + 1 + 1) * (4 * (k + 1) + 5)) / 6. Что и требовалось доказать.