Правильно писать будешь или будишь

Возможны оба варианта написания слова, в зависимости от глагола, от которого оно образовано.

Будешь - образовано от глагола "быть".

Будешь участвовать со мной в конкурсе?

Ты будешь больше знать, если будешь больше читать.

Будишь - образовано от глагола "будить".

Зачем ты будишь меня так рано?

Ты будишь его слишком тихо.