Уравнение касательной к к графику функции f(x) в точке х = х0 имеет следующий вид:
у = f'(x0) * (х - х0) + f(x0).
Следовательно, для того, чтобы прямая y = 24x + a являлась касательной к графику функции y = x³ + 3x + 5 в некоторой точке х0, необходимо, чтобы производная этой функции в данной точке равнялась 24.
Найдем производную функции y = x³ + 3x + 5:
y' = (x³ + 3x + 5)' = 3х² + 3.
Найдем в какой точке данная производная равна 24. Для этого решим уравнение:
3х² + 3 = 24;
3х² = 24 - 3;
3х² = 21;
х² = 21 / 3;
х² = 7;
х1 = -√7;
х2 = √7.
Найдем значения функции y = x³ + 3x + 5 в этих точках:
y(-√7) = (-√7)³ + 3 * (-√7) + 5 = -7√7 - 3√7 + 5 = 5 - 10√7;
y(√7) = (√7)³ + 3 * (√7) + 5 = 7√7 + 3√7 + 5 = 5 + 10√7.
Запишем уравнения касательных к графику функции y = x³ + 3x + 5 в этих точках.
В точке х = -√7;
у = 24 * (х + √7) + 5 - 10√7;
у = 24х + 24√7 + 5 - 10√7;
у = 24х + 5 + 14√7.
В точке х = √7;
у = 24 * (х - √7) + 5 + 10√7;
у = 24х - 24√7 + 5 + 10√7;
у = 24х + 5 - 14√7.
Следовательно, прямая y = 24x + a является касательной к графику функции y = x³ + 3x + 5 при а = 5 + 14√7 и а = 5 - 14√7.
Ответ: прямая y = 24x + a является касательной к графику функции y = x³ + 3x + 5 при а = 5 + 14√7 и а = 5 - 14√7.