Пруд зарастает водяными лилиями. На первый день выросла одна лилия, на второй день — две лилии, на третий день — четыре лилии, на четвёртый день — восемь лилий, ... и так на каждый следующий день число лилий удваивалось. Наконец, на 42 день пруд зарос полностью. На который день пруд зарос наполовину?

Поскольку из условия задачи известно, что каждый последующий день пруд зарастает в 2 раза больше чем в предыдущий, то можно сделать вывод, что наполовину он зарос на 41 день, поскольку на 42 он зарос полностью. Ответ: Пруд наполовину зарос водяными лилиями на 41 день.

Будем решать данную задачу по следующему плану:

• используя понятие геометрической прогрессии, вычислим число лилий, которое выросло в пруду на 42-й день;
• найдем половину от вычисленного количества лилии;
• найдем, через сколько дней пруд заростет наполовину, то есть через сколько дней количество лилий в пруду окажется равным половине от вычисленного полного количества лилии.

Решение задачи.

Вычислим число лилий, которое выросло в пруду на 42-й день

Согласно условию задачи, в первый день в пруду выросла одна лилия, а затем каждый день число лилий удваивается.

Следовательно, число лилий растет в геометрической прогрессии со знаменателем q = 2.

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1 * q^{n - 1}, где b1 — первый член геометрической прогрессии, q — знаменатель геометрической прогрессии, найдем  число лилий, которое выросло в пруду на 42-й день.

В данной прогрессии  b1 = 1, q = 2, следовательно,  формула n-го члена для данной геометрической прогрессии принимает следующий вид:

bn = 1 * 2^{n - 1} = 2^{n - 1}.

Подставляя в данную формулу значения n = 42, получаем:

b42 = 2^{42 - 1} = 2⁴¹.

Найдем половину от вычисленного количества лилии

На 42-й день в пруду оказалось  2⁴¹ лилии.

Половина от данного количество лилий составляет:

(1/2) * 2⁴¹ = 2^-1 * 2⁴¹ = 2^{41 - 1} = 2⁴⁰.

Найдем через сколько дней количество лилий в пруду окажется равным 2⁴⁰

Снова воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии и найдем при каком значении n выполняется равенство:

2^{n - 1} = 2⁴⁰.

Решаем полученное показательное уравнение:

n - 1 = 40;

n  = 40 + 1;

n  = 41.

Следовательно, пруд зарастет наполовину на 41-й день.

Ответ: пруд зарастет наполовину на 41-й день.

Ответ прост. Пруд запрос на половину водяными лилиями в 41 день.