Задание состоит из двух частей, в каждой части из которых требуется разложить на множители данное тригонометрическое выражение. Каждый раз данное выражение обозначим через Т.
а) Т = cos105°– cos75°. Воспользуемся формулой cosα – cosβ = –2 * sin(½ * (α + β)) * sin(½ * (α – β)) (разность косинусов). Имеем: Т = –2 * sin(½ * (105° + 75°)) * sin(½ * (105° – 75°)) = –2 * sin90° * sin15°. Формула 1 – cosα = 2 * sin2(α / 2) позволит вычислить значение sin15° = √((1 – cos30°) / 2). Согласно таблице основных значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, имеем: sin90° = 1 и cos30° = √(3) / 2. Значит, Т = –2 * 1 * √((1 – √(3) / 2) / 2) = –√(2 – √(3)). Применим формулу сложного радикала: √(a – √(b)) = √((a + √(a2 – b)) / 2) – √((a – √(a2 – b)) / 2), где все подкоренные выражения неотрицательны. Тогда, Т = –[√((2 + √(22 – 3)) / 2) – √((2 – √(22 – 3)) / 2)] = –[√((2 + 1) / 2) – √((2 – 1) / 2)] = (√(2) – √(6)) / 2.
b) Т = sin75° + sin15°. Воспользуемся формулой sinα + sinβ = 2 * sin(½ * (α + β)) * cos(½ * (α – β)) (сумма синусов). Имеем: Т = 2 * sin(½ * (75° + 15°)) * cos(½ * (75° – 15°)) = 2 * sin45° * cos30°. Согласно таблице основных значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, имеем: sin45° = √(2) / 2 и cos30° = √(3) / 2. Значит, Т = 2 * (√(2) / 2) * (√(3) / 2) = √(6) / 2.