а) |х - 5| ≤ 2
б) |x + 1| > 5
Неравенства с модулем бывают двух видов: |x| > a и |x| < a.
Правила решения неравенства с модулем
- Модуль числа - это число, взятое без минуса. Например, |- 5| = 5. Модуль положительного числа равен самому числу. Например, |34| = 34. То есть под знаком модуля может быть или положительное или отрицательное число.
- Значение модуля числа (или выражения) никогда не может быть отрицательным, хотя под знаком модуля может быть отрицательное число.
- Поэтому если |x| > a, то х > a либо x < - a.
- И если |x| < a, то x < a либо х > - a.
Решение неравенства с модулем
а) Нам дано неравенство |х - 5| ≤ 2
Значит, либо х - 5 ≤ 2, либо х - 5 >= - 2.
Решаем первое неравенство.
х - 5 ≤ 2
Переносим - 5 в правую часть, меняя знак.
х ≤ 2 + 5
х ≤ 7
Решением данного неравенства будет промежуток (- бесконечность; 7].
Решаем второе неравенство.
х - 5 >= - 2
Переносим - 5 в правую часть, меняя знак.
х >= - 2 + 5
х >= 3
Решением данного неравенства будет промежуток [3; + бесконечность)
Объединяем решения двух неравенств, получается, что х принадлежит промежутку [3; 7].
б) Нам дано неравенство |x + 1| > 5
Значит, либо x + 1 > 5 либо x + 1 < - 5.
Решаем первое неравенство.
x + 1 > 5
Переносим 1 в правую часть, меняя знак.
x > 5 - 1
x > 4
Решением данного неравенства будет промежуток (4; + бесконечность).
Решаем второе неравенство.
x + 1 < - 5
Переносим 1 в правую часть, меняя знак.
x < - 5 - 1
x < - 6
Решением данного неравенства будет промежуток (- бесконечность; -6).
Объединяем решения двух неравенств, получается, что х принадлежит промежуткам (4; + бесконечность) и (- бесконечность; -6).
