решить уравнение в целых числах 3*x^2+4*xy-7*y^2=13

   1. Разложим на множители квадратный трехчлен:

• 3x^2 + 4xy - 7y^2 = 13;

• f(x, y) = 3x^2 + 4yx - 7y^2;
• D/4 = (2y)^2 + 3 * 7y^2 = 4y^2 + 21y^2 = 25y^2;
• x = (-2y ± √(25y^2))/3 = (-2y ± 5y)/3;
• x1 = (-2y - 5y)/3 = -7y/3;
• x2 = (-2y + 5y)/3 = 3y/3 = y;
• f(x, y) = 3x^2 + 4yx - 7y^2 = 3(x + 7y/3)(x - y) = (3x + 7y)(x - y).

   2. Получим уравнение:

      (3x + 7y)(x - y) = 13. (1)

   Целые решения возможны в следующих случаях:

   1)

• {3x + 7y = 1;
  {x - y = 13;
• {3y + 39 + 7y = 1;
  {x = y + 13;
• {10y = -38;
  {x = y + 13.

   Нет целых решений.

   2)

• {3x + 7y = -1;
  {x - y = -13;
• {3y - 39 + 7y = -1;
  {x = y - 13;
• {10y = 38;
  {x = y - 13.

   Нет целых решений.

   3)

• {3x + 7y = 13;
  {x - y = 1;
• {3y + 3 + 7y = 13;
  {x = y + 1;
• {10y = 10;
  {x = y + 1;
• {y = 1;
  {x = 2.

   4)

• {3x + 7y = -13;
  {x - y = -1;
• {3y - 3 + 7y = -13;
  {x = y - 1;
• {10y = -10;
  {x = y - 1;
• {y = -1;
  {x = -2.

   Ответ: (2; 1); (-2; -1).