1. Найдем ОДЗ:
Log 1/2 (2x + 1) > - 2;
2x + 1 > 0;
2х > - 1;
х > - 1/2;
х ∈ ( - 1/2; + ∞);
Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:
- 2 = - 2log 1/2 1/2 = log 1/2 1/2 - 2 = log 1/2 2/1 2 = log 1/2 2 2;
Log 1/2 (2x + 1) > log 1/2 2 2;
Заметим, что основания логарифмов 0 < 1/2 < 1. Из равенства основания логарифмов следует:
(2x + 1) < 2 2;
2x + 1 < 4;
2х < 4 - 1;
2х < 3;
х < 3/2;
х < 1 1/2;
Получим систему неравенств:
{х > - 1/2;
{х < 1 1/2;
/////////////////////
---°(- 1/2)---°( 1 1/2)---
////////////////
х ∈ (- 1/2; 1 1/2);
Ответ: х ∈ (- 1/2; 1 1/2).
2. Воспользуемся свойством степеней и приведем показательное неравенство к одному основанию:
(1/4)^(х² - 6) < (1/2)^10х;
(1/2)^2 * (х² - 6) < (1/2)^10х;
Так как основания равны, а 0 < 1/2 < 1, заменим неравенство равносильным:
2 * (х² - 6) > 10х;
Перенесем все в левую часть и разделим на 2;
2х² - 12 - 10х > 0;
х² - 5х - 6 > 0;
Решим левую часть как квадратное уравнение:
D = b² - 4ac = ( - 5)² - 4 * 1 * ( - 6) = 25 + 24 = 49;
x1 = (- b + √D) / 2a = (5 + √49) / 2 * 1 = (5 + 7) / 2 = 12 / 2 = 6;
x2 = (- b - √D) / 2a = (5 - √49) / 2 * 1 = (5 - 7) / 2 = - 2 / 2 = - 1;
(х - 6)(х + 1) > 0;
Воспользуемся методом интервалов:
+ - +
---°(- 1)---°(6)---
//// \\\\
х ∈ (- ∞; - 1) ∪ (6; + ∞);
Ответ: х ∈ (- ∞; - 1) ∪ (6; + ∞).