Решите неравенство x^2+|x|-6 < 0

Данное неравенство x² + |x| - 6 < 0 имеет модуль.

Неравенства с модулем решаются так:

• Определяется значение переменной, в котором модуль меняет свой знак.
• Рассматривается два (или больше) интервалов, на которые разбивает значение модуля.
• До полученного значения модуль нужно раскрывать, меняя знак у всех одночленов в модуле.
• После полученного значения раскрываем модуль, не меняя знаки в модуле.
• При получении ответа необходимо свериться, подходит ли данный корень интервалу.

Определяем значение переменной х, при котором модуль будет менять знак.

х = 0 (так как в модуле только х).

Получается два интервала: (-∞; 0) и (0; +∞).

Разберем первый интервал

На интервале (-∞; 0) х имеет отрицательное значение, раскрываем модуль со знаком (-).

x² + (-x) - 6 < 0.

x² - x - 6 < 0.

Рассмотрим функцию у = x² - x - 6, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью х): у = 0;

x² - x - 6 = 0.

D = 1 + 24 = 25 (√D = 5);

х₁ = (1 - 5)/2 = -4/2 = -2.

х₂ = (1 + 5)/2 = 6/2 = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки -2 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-2; 3).

https://bit.ly/2qxAvt0

Так как мы брали интервал (-∞; 0), то решением неравенства будет промежуток (-2; 0).

Рассмотрим второй интервал

На интервале (0; +∞) х имеет положительное значение, раскрываем модуль мо знаком (+).

x² + x - 6 < 0.

x² + x - 6 < 0.

Рассмотрим функцию у = x² + x - 6, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью х): у = 0;

x² + x - 6 = 0.

D = 1 + 24 = 25 (√D = 5);

х₁ = (-1 - 5)/2 = -6/2 = -3.

х₂ = (-1 + 5)/2 = 4/2 = 2.

Отмечаем на числовой прямой точки -3 и 2, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-3; 2).

https://bit.ly/2Hirj6t

Так как мы рассмотривали интервал (0; +∞), значит, решением неравенства будет промежуток (0; 2).

Ответ: х принадлежит промежуткам (-2; 2).

x ^ 2 + |x| - 6 < 0; Модуль раскрывается со знаком плюс и минус. Получим 2 неравенства: 1) x ^ 2 + x - 6 < 0; Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b2 - 4ac = 12 - 4·1·(-6) = 1 + 24 = 25; Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня: x1 = (- 1 - √25)/(2 · 1) = (- 1 - 5)/2 = - 6/2 = - 3; x2 = (- 1 + √25)/(2 · 1) = (- 1 + 5)/2 = 4/2 = 2; Отсюда, - 3 < x < 2; 2) x ^ 2 + (- x) - 6 < 0; Раскрываем скобки. Так как, перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии, знаки значений остаются без изменений. То есть получаем: x ^ 2 - x - 6 < 0; Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b2 - 4ac = (-1)2 - 4·1·(-6) = 1 + 24 = 25; Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня: x1 = (1 - √25)/(2 · 1) = (1 - 5)/2 = - 4/2 = - 2; x2 = (1 + √25)/(2 · 1) = (1 + 5)/2 = 6/2 = 3; Отсюда, - 2 < x < 3; Тогда получаем: - 2 < x < 2.