Решите уравнение: х+5 / х-1+2х-5 / х-7-30-12х / 8х-х-7=0

1. Чтобы решить уравнение содержащее дробь, найдем общий знаменатель:

(х + 5)/(х - 1) + (2х - 5)/(х - 7) - (30 - 12х)/(8х - х² - 7) = 0;

2. Решим знаменатель третьей дроби как квадратное уравнение:

8х - х² - 7 = 0;

x² - 8x + 7 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 8)² - 4 * 1* 7 = 64 - 28 = 36;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (8 - √36) / 2 * 1 = (8 - 6) / 2 = 2 / 2  = 1;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (8 + √36) / 2 * 1 = (8 + 6) / 2 = 14 / 2  = 7; 

3. Представим квадратное уравнение в виде произведения двух линейных множителей:

ax²  + bx + c = а(х - x1)(х - x2);

(х - 1)(х - 7);

4. Подставим преобразованный знаменатель:

(х + 5)/(х - 1) + (2х - 5)/(х - 7) - (30 - 12х)/(х - 1)(х - 7) = 0;

6. Общий знаменатель — (х - 1)(х - 7);

(х + 5)/(х - 1) * (х - 1)(х - 7)/(х - 1)(х - 7) = (х + 5)(х - 7)/(х - 1)(х - 7);

(2х - 5)/(х - 7) * (х - 1)(х - 7)/(х - 1)(х - 7) = (2х - 5)(х - 1)/(х - 1)(х - 7);

((х + 5)(х - 7) + (2х - 5)(х - 1) - (30 - 12х))/(х - 1)(х - 7) = 0;

7. Найдем ОДЗ:

(х - 1)(х - 7) ≠ 0;

х - 1 ≠ 0

х1 ≠ 1;

х - 7 ≠ 0;

х2 ≠ 7;

8. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю:

(х + 5)(х - 7) + (2х - 5)(х - 1) - (30 - 12х) = 0;

x² - 7x + 5x - 35 + 2x² - 2х - 5х + 5 - 30 + 12x = 0;

3x² + 3x - 60 = 0;

x² + x - 20 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1* ( - 20) = 1 + 80 = 81;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 1 - √81) / 2 * 1 = ( - 1 - 9) / 2 = - 10 / 2  = - 5;

х2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 1 + √81) / 2 * 1 = ( - 1 + 9) / 2 = 8 / 2  = 4;

Ответ: х1 = - 5, х2 = 4.