Владимир2 года назад
Обозначим высоту конуса как $h$, радиус основания как $r$, а расстояние от вершины до сечения как $x$. Так как сечение параллельно основанию, то оно также является основанием меньшего конуса, подобного исходному. Площадь сечения равна площади основания меньшего конуса, то есть $\pi r'^2 = 128$, где $r'$ - радиус меньшего конуса.
Деля высоту на отрезки 4 и 5, мы можем записать уравнения:
$$\frac{x}{h} = \frac{4}{9} \quad \text{и} \quad \frac{h-x}{h} = \frac{5}{9}$$
Отсюда получаем, что $x = \frac{4h}{9}$ и $h-x = \frac{5h}{9}$. Также мы знаем, что меньший конус подобен исходному, и его высота равна $\frac{5h}{9}$, а радиус $\frac{4r}{9}$. Тогда объем меньшего конуса:
$$V' = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{4r}{9}\right)^2 \frac{5h}{9} = \frac{80}{729} \pi r^2 h$$
Отношение объемов меньшего и исходного конусов равно кубу отношения соответствующих линейных размеров, то есть:
$$\frac{V'}{V} = \left(\frac{4}{9}\right)^2 \cdot \frac{5}{9} = \frac{80}{729}$$
Отсюда находим объем исходного конуса:
$$V = \frac{V'}{\frac{80}{729}} = \frac{80}{729} \cdot \frac{80}{729} \pi r^2 h = \boxed{\frac{51200}{531441} \pi r^2 h}$$