Семизначное число называется "уравновешенным", если в нем все цифры являются простыми числами и каждая из них встречается менее трех раз. Сколько таких чисел?

Среди цифр простыми числами являются 2, 3, 5, 7.
Любая из них встречается в нашем семизначном числе менее трех раз.
Рассмотрим любое, состоящее из них, семизначное число, например:
22335577.
Мы получили восьмизначное число! Одна цифра лишняя!

Есть четыре варианта ее удалить.
Тогда, в нашем числе останется три пары цифр и еще одна непарная, например:
2233557.

Если бы все оставшиеся 7 цифр были разными... Мы могли бы получить из них 7! различных семизначных чисел.
Однако в любом числе мы можем переставить местами пару одинаковых цифр без изменения числа.
Значит, для первой пары совпадающих цифр есть два варианта расположения, два для второй, и - два для третьей! То есть, если переставлять только парные цифры, как различные, для любого семизначного уравновешенного числа есть 2∙2∙2 = 8 вариантов такой перестановки. Поэтому, общее количество таких чисел меньше 7! в 8 раз.
7!/8 = 630.
Не нужно забывать, что есть 4 варианта отбросить одну цифру:
630∙4 = 2520;
Ответ: таких чисел 2520.