Sin x + sin 5x +cos x+ cos 5x=0

Решим тригонометрическое уравнение и найдем его корни. 

Sin x + sin (5 * x) + cos x + cos (5 * x) = 0; 

sin x + cos x = -sin (5 * x) - cos (5 * x); 

Возведем уравнение в квадрат и получим: 

(sin x + cos x)^2 = (-sin (5 * x) - cos (5 * x))^2;  

sin^2 x + 2 * sin x * cos x + cos^2 x = sin^2 (5 * x) + 2 * sin (5 * x) * cos (5 * x) + cos^2 (5 * x); 

Упростим уравнение при помощи основных тригонометрических формул. 

1 + sin (2 * x) = 1 + sin (2 * 5 * x); 

sin (2 * x) = sin (10 * x); 

sin (2 * x) - sin (10 * x)  = 0; 

2 * sin ((2 * x - 10 * x)/2) * cos ((2 * x + 10 * x)/2) = 0; 

2 * sin (-4 * x)) cos (6 * x) = 0; 

2 * sin (4 * x) * cos (6 * x) = 0;   

Приравняем уравнения к 0 и решим их по отдельности. Уравнения относятся к простейшим тригонометрическим уравнениям. 

1) sin (4 * x) = 0; 

4 * x = pi * n, n принадлежит Z; 

x = pi * n/4, n принадлежит Z; 

2) cos (6 * x) = 0; 

6 * x = pi/2 + pi * n, n принадлежит Z; 

x = pi/12 + pi * n/6, n принадлежит Z.