Сколько раз в течение января совпадут часовая и минутная стрелка механических часов?

За одни сутки часовая стрелка проходит круг два раза, а минутная - 24 раза. Следовательно, минутная догоняет часовую стрелку и соответственно совпадает с ней: 24 - 2 = 22 раза. В январе 31 день, значит минутная и часовая стрелки в этом месяце совпадут: 22 * 31 = 682 раз. Ответ: в течение января часовая и минутная стрелка механических часов совпадут 682 раза.

   Задача решается в несколько этапов:

• Вычислить, сколько раз минутная и часовая стрелка совпадают за сутки (24 часа);
• Вспомнить, сколько дней в январе;
• Умножить количество дней в январе на количество совпадений часовой и минутной стрелки.

Считаем, сколько раз в сутки часовая и минутная стрелка совпадают

Сделать это можно с помощью часов с циферблатом (наглядно), можно и математически, воспользуемся вторым вариантом.
Итак, возьмем деление на циферблате часов от нуля до единицы.
За этот отрезок часовая стрелка пройдет за 1 час (60 минут), а минутная пройдет всего за 5 минут, то есть минутная стрелка движется быстрее часовой в 12 раз (60 / 5).
За 24 часа часовая стрелка пройдет два полных круга на циферблате, а минутная - 24 круга, при этом первый раз стрелки совпадут в 00:00, а затем только во втором часу ночи, то есть за первую половину суток стрелки совпадут 11 раз, а за вторую половину суток тоже 11 раз.
В сумме за 24 часа стрелки совпадут 22 раза.

Считаем, сколько раз стрелки совпадут в январе

В январе 31 день, умножаем 31 * 22 = 682 раза.
Ответ: 682 раза в январе стрелка минутная полностью совпадёт с часовой.