Составьте уравнение касательной к графику функции y=x^3+2x в точке с абсциссой x0=-1

1. Уравнение касательной по общей формуле имеет вид: у = f ( x0 ) + f '( x0 ) ( x - x0 ); 2. Найдем f(x0): f( - 1) = ( - 1)3 + 2 ( - 1) = - 1 - 2 = - 3; 3. Найдем производную f ' (x): f ' (x) = 3х2 + 2; 4. Найдем производную f ' (x0): f ' ( -1) = 3 ( - 1)2 + 2 = 3 + 2 = 5; 5. Полученные данные подставляем в уравнение касательной: у= f ( x0 ) + f '( x0 ) ( x - x0 ) = - 3 + 5 ( х + 1) = - 3 + 5х + 5 = 5х + 2. Ответ: у = 5х + 2.

Уравнение касательной к к графику функции f(x) в точке х = х0 имеет следующий вид:

у = f'(x0) * (х - х0) + f(x0).

Следовательно, для того, чтобы записать уравнение касательной к графику некоторой  f(x) в точке х = х0, необходимо:

• найти, чему равна производная данной функции f'(x);
• вычислить значение производной этой функции в точке х0;
• вычислить значение самой функции в точке х0;
• записать уравнение касательной.

При решении данной задачи будем действовать по этой схеме.

Находим производную функции  f(x) = x³ + 2x 

Для нахождения производной данной функции воспользуемся следующими фактами:

• производная суммы функций равна сумме сумме производных этих функций;
• производная от произведения функций и некоторого числа равна произведению этого числа и производной функции;
• производная степенной функции у = х^р вычисляется по формуле у' = pх^р-1.

Используя данные утверждения, находим производную функции y = x³ + 2x.

Данная функция является суммой двух функций у = x³  и у = 2х.

Производная первой функции равна:

у' = (x³)' = 3x².

Производная второй функции равна:

у' = (2х)' = 2.

Следовательно, производная функции y = x² + 2x равна:

f'(x) = (x³ + 2x)' = (x³)' + (2х)' = 3x² + 2.

Находим значение производной функции f(x) = x³ + 2x в точке x = -1

Подставляя значение х = -1 в выражение для производной функции f'(x) = 3x² + 2, получаем:

f'(-1) = 3 * (-1)² + 2 = 3 + 2 = 5.

Находим значение самой функции f(x) = x³ + 2x в точке x = -1

Подставляя значение х = -1 в выражение уравнение функции f(x) = x³ + 2x, получаем:

 f(-1) = (-1)³ + 2 * (-1) = -1 - 2 = -3.

Записываем уравнение касательной

Подставляя все найденные значения в общее уравнение касательной для функции f(x), получаем:

у = 5 * (х - (-1)) + (-3);

у = 5 * (х  + 1) - 3;

у = 5х + 5 - 3;

у = 5х + 2.

Ответ: искомое уравнение касательной у = 5х + 2.