Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а,диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45 градусов.Найдите диагональ призмы,площадь боковой поверхности призмы, угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани.

1) Допустим стороны основания призмы: AB BC CD AD, тогда диагональ основания DB = √2a^2 = a√2 Т.к. D1D перпендикулярно DB, то треугольник D1DB - прямоугольный; угол DBD1 по условию = 45°, значит угол DD1B = 180-(45+90) = 45°, отсюда следует, что треугольник D1DB - равнобедренный, значит D1D = DB = a√2 Отсюда диагональ D1B = √2(a√2)^2 = 2а 2) S(боковое) = P*h, тогда S=4*a*a√2 = 4a√2 3) sin(D1BC1) = a/2a = 1/2, отсюда D1BC1 = 30°

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁, тогда AB = BC = CD = AD = A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = A₁D₁ = a и AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁. 1. Найдем диагональ основания из прямоугольного △ACD по теореме Пифагора: AC = √(AD² + CD²) = √(a² + a²) = √(2 * a²) = a√2. Рассмотрим △C₁CA: ∠AC₁C = 180° - ∠C₁CA - ∠C₁AC (по теореме о сумме углов треугольника); ∠AC₁C = 180° - 45° - 90° = 45° ⇒ △C₁CA равнобедренный: AC = C₁C = a√2. По теореме Пифагора: AC₁ = √(AC² + C₁C²) = √((a√2)² + (a√2)²) = √(2 * a² + 2 * a²) = √(4 * a²) = 2 * a. 1. Все боковые грани призмы являются равными прямоугольниками. Найдем площадь AA₁D₁D: S = AD * A₁A = a * a√2 = a²√2. Площадь боковой поверхности равна: Sбок. = 4 * S = 4 * a²√2. 1. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В △ADC₁: sin∠AC₁D = AD/AC₁ = a/2 * a = 1/2. 1/2 является синусом угла, равного 30° ⇒ ∠AC₁D = 30°. Ответ: 1) AC₁ = 2 * a; 2) Sбок. = 4 * a²√2; 3) ∠AC₁D = 30°.