Сторона равностороннего треугольника равна 3 . найдите его площадь

Многоугольник, у которого имеется три вершины и три стороны называется треугольником. При этом, треугольник называется разносторонним, если все три стороны равны. Площадь равностороннего треугольника равна половине произведения основания на высоту: S = 1 / 2 * a * h. Высоту равностороннего треугольника найдём по формуле Пифагора: h = √ (b2 - с2 / 4) = √( 9 - 2,25) = √6,75 = 15 √3. S = 1 / 2 * 3 * 15 √3 = 2,5 √3.

Запишем алгоритм решения задачи

Для того, чтобы решить данную задачу, нам нужно узнать:

• какой треугольник называется равносторонним;
• как найти площадь треугольника;
• формулу для расчета площади равностороннего треугольника;

Далее мы можем вычислить площадь заданного равностороннего треугольника.

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.

Площадь треугольника

Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту. Запишем формулу:

S = 1/2 × (а × h),

где S — площадь треугольника, а — основание, h — высота.

Выведем формулу для расчета площади равностороннего треугольника.

Проведем в равностороннем треугольнике ABC высоту CH (ссылка на рисунок: http://bit.ly/2j2OIhS)

Свойство высоты равностороннего треугольника: «В равностороннем треугольнике высота, проведённая к любой стороне, является также его  биссектрисой и медианой».

Обозначим одну из сторон нашего равностороннего треугольника буквой а.

Тогда, исходя из свойства медианы, АH = HB = a/2.

Значит, высота BH делит наш равносторонний треугольник на два прямоугольных. Рассмотрим один из них. Пусть это будет треугольник АСH.

Гипотенуза нашего прямоугольного треугольника — АС, один катет — СH, а второй — AH.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, запишем выражение для данного прямоугольного треугольника и найдем высоту СH = h. Теорема Пифагора: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

(a/2)² + h² = a²;

h² = a² - (a/2)² = a² - a²/4 = (4a² - a²)/4 = 3a²/4;

h = √ (3 a² / 4) = (а √ 3)/2.

Подставив значение высоты h в формулу для площади треугольника, получим формулу для расчета площади равностороннего треугольника:

S = 1/2 × (а × (а √3)/2) = 1/2 × (а² √ 3) / 2 = (а² √ 3) / 4.

Рассчитаем площадь данного равностороннего треугольника

S = (а² √ 3) / 4 = (3² √ 3) / 4 = (9 √ 3) / 4 = 3,9 кв. ед.

Ответ: площадь заданного равностороннего треугольника равна 3,9 кв. ед.