Трапеция ABCD(AD||BC) вписана в окружность, радиус которой равен 4см; AC- биссектриса угла A, угол BCA=30°. Найдите площадь трапеции.

< CAD = < BCA, < ВАС = 30° (АС - биссектриса) и треугольник АВС равнобедренный.
ВН - это часть радиуса ВО, < АВС - 120°. 
Значит градусная мера дуги АDC = 240°.
Тогда градусная АВС равна:
АВС = 360° - 240°;
АВС = 120°.
На эту дугу опирается центральный угол АОС = 120°.
Следовательно, получается, что:
АВ = ВС = АО = ОD = ОС = СD = R = 4 см.
Проведем высоту трапеции СК.
В равностороннем треугольнике ОСD, СК = (√3/2)*а, где а = 4 см.
СК = 2√3 см.
S = (BC + AD) * CК / 2 = 12√3 см ².
Ответ: S = 12√3 см ².