Обозначим искомые числа буквами x, y и z.
По условию задачи x + y + z = 12.
Так как эти числа составляют арифметическую прогрессию, то можно записать следующее уравнение:
y - x = z - y.
В результате прибавления к этим числам соответственно чисел 1, 2 и 6 получается геометрическая прогрессия, что можно записать следующим образом:
y + 2/x + 1 = z + 6/y + 2.
Из второго уравнения получаем:
2 * у = x + z.
Из первого уравнения получаем:
x + z = 12 - y.
Таким образом:
12 - y = 2 * y,
3 * y = 12,
y = 4.
Значит x + z = 8, то есть z = 8 - х.
Подставим полученные значения в третье уравнение:
6/(х + 1) = (8 - х + 6)/6,
14 * х - х² + 14 - х = 36,
х² - 13 * х + 22 = 0.
Дискриминант данного уравнения равен:
(-13)² - 4 * 1 * 22 = 81.
Значит уравнение имеет следующие решения:
х = (13 - 9)/2 = 2 и х = (13 + 9)/2 = 11.
По условию задачи все числа положительные и так как z = 8 - x, то нам подходит значение x = 2 и z = 6.
Ответ: 2, 4 и 6.