Укажите словосочетание, в котором предлог пишется слитно : 1) (не)смотря на усталость; 2) (по)мере приближения.

По правилу написания предлогов существуют определённые слова, которые необходимо запомнить как пишутся:

1. Пишутся слитно предлоги: ввиду, вместо, вроде, вследствие, наподобие, насчет, сверх .

2. Пишутся раздельно предлоги: в виде, в связи с, в продолжение, в течение, в заключение, в завершение .

В нашем случае : 

Несмотря на усталость(в данном случае предлог и слово пишутся слитно по правилу описанному выше). 

По мере приближения ( в данном случае пишем раздельно, так как у нас в русском языке существует отдельное слово «мера», которое мы можем употреблять без предлога «по»).