Упростить: (a+1)(a^2+1)(a^4+1)(a^8+1)*...*(a^1024+1)

Домножим и разделим данное выражение на (a – 1):

(a + 1)(a² + 1²)(a⁴ + 1⁴)(a⁸ + 1⁸)(a¹⁶ + 1¹⁶) * … * (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) = (a - 1) (a + 1)(a² + 1²)(a⁴ + 1⁴)(a⁸ + 1⁸)(a¹⁶ + 1¹⁶) * … * (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) / (a – 1).

Применим формулу сокращенного умножения разность квадратов: (х – у)(х + у) = х² – у². В результате получим:

(a² - 1²)(a² + 1²)(a⁴ + 1⁴)(a⁸ + 1⁸)(a¹⁶ + 1¹⁶) * … * (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) / (a – 1) = (a⁴ - 1) (a⁴ + 1⁴)(a⁸ + 1⁸)(a¹⁶ + 1¹⁶) * … * (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) / (a – 1) = (a⁸ - 1⁸)(a⁸ + 1⁸)(a¹⁶ + 1¹⁶) * … * (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) / (a – 1) = (a¹⁶ - 1¹⁶)(a¹⁶ + 1¹⁶) * … * (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) / (a – 1) = … = (a¹⁰²⁴ - 1¹⁰²⁴) (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) / (a – 1) = (a²⁰⁴⁸ - 1)/(а – 1).

Ответ: (a²⁰⁴⁸ - 1)/(а – 1).