В далеке или вдалеке?

Вдалеке — наречие. Допускается только слитный вариант его написания. 

Вдалеке маячил высокий памятник. 

Мы увидели красивый дом вдалеке. 

Это наречие указывает на место, где расположен предмет или происходит какое-то событие. 

Часто "вдалеке" пишут раздельно, как бы различая предлог и существительное. Но стоит запомнить, что слова "далеке" в русском языке не существует, поэтому слитное написание невозможно. 

Хотя есть слова, в которых возможны два варианта написания: вначале — в начале, вдали — в дали. Правописание зависит от конкретного контекста.