А. По-весеннему шумит лес.
В данном предложении слово «по-весеннему» является наречием образа действия и пишется через дефис. Проверка: от главного слова, которое является глаголом, можно задать вопрос «как», то есть «шумит КАК? по-весеннему». Выбираем данное предложение.
Б. По зимнему лесу двигались подводы. В. По летнему лесу приятно идти.
В данных предложениях «зимнему» и «летнему» являются прилагательными (называют признак предмета) и пишутся раздельно с предлогом «по», относящемуся к существительному «лесу». Проверка: по лесу КАКОМУ? зимнему, по лесу КАКОМУ? летнему. Предложения не выбираем как верный вариант.
Г. Настроение было по-осеннему грустное.
В данном предложении слово «по-осеннему» является наречием меры и степени и пишется через дефис. Проверка: от составного именного сказуемого можно задать вопрос «в какой степени», то есть «было грустное В КАКОЙ СТЕПЕНИ? по-осеннему». Выбираем данное предложение.