В круг вписан прямоугольник. радиус круга равен R. при каких размерах прямоугольника его площадь будет наибольшей

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/3LGeu3Q).

Площадь любого прямоугольника можно определить через длины его диагоналей и угол между ними.

Sавсд = (1/2) * АС * ВД * SinАОВ.

Так как четырехугольник АВСД прямоугольник, то его диагонали равны, а так как он вписан в окружность, то они равны диаметру этой окружности.

Диаметр окружности величина постоянная, тогда площадь вписанного прямоугольника зависит от угла между диагоналями.

Максимальное значение SinAOB = 1 при АОВ = 90⁰.

Тогда максимальной будет площадь, если АВСД квадрат.

АВ^2 = OA^2 + OB^2 = 2 * R^2.

AB = ВС = СД = АД = R * √2 см.

Ответ: При длине стороны R * √2 см.