В окружности проведены хорды АС и BD так что они пересекаются в точке Р. Докажите АРВ= полусумме угла АОВ и угла СОD

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2YKU1mh).

Проведем хорду ВД.

В треугольнике РВД угол РВД равен вписанному углу СВД, который опирается на дугу СД, а следовательно, равен половине градусной меры дуги СД, а соответственно половине центрального угла СОД.

Угол РДВ треугольника РВД равен вписанному углу АДВ, опирающегося на дугу АВ, тогда угол РДВ = АОВ / 2.

Тогда в треугольнике РДВ угол ВРД = (180 – (АОВ + СОД) / 2).

Углы АРВ и ВРД смежные, тогда угол АРВ = (180 – 180 + (АОВ + СОД) / 2) = (АОВ + СОД) / 2, что и требовалось доказать.