В окружности с центром O проведены хорды AC и BD так, что они пересекаются в точке P. Докажите, что угол APB равен полусумме углов AOB и COD.

https://bit.ly/2RK4J9f

Заметим, что центральный угол AOB и угол ACB опираются на оду и ту же дугу AB.

Следовательно,

ACB = AOB / 2.

Также заметим, что центральный угол COD и угол CBD опираются на оду и ту же дугу CD.

CBD = COD / 2.

Рассмотрим треугольник BCP. Сумма двух его углов равна полусумме углов AOB и COD:

CBP + BCP = CBD + ACB = COD / 2 + AOB / 2 = (AOB + COD) / 2.

Так как APB и BPC смежные углы,

APB + BPC =180°,

APB = 180° - BPC.

Но из треугольника BCP имеем:

CBP + BCP + BPC = 180°,

BPC = 180° - (CBP + BCP). Значит:

APB = 180° - BPC = 180° -(180° - (CBP + BCP)) = CBP + BCP = (AOB + COD) / 2, что и требовалось доказать.