В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной С, и острым углом 30°. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти объем пирамиды.

АС = с, ∠АСВ = 30°, ∠ОАС = 45°, точка вершины О имеет проекцию в точке К на середине гипотенузы АС.

V = 1/3 * S _осн * h.

В треугольнике АВС:

S _осн = 1/2 * АВ * ВС,

АВ = АС * sin30° = с * 1/2,

ВС = АС * sin (90° - 30°) = с * √3/2,

S _осн = 1/2 * АВ * ВС = 1/2 * с * 1/2 * с * √3/2.

В АОК:

АК = АС/2 = с/2,

∠АКО = 90°,

∠ОАС = ∠АОС = 45°,

н = ОК,

ОК = АО * sin 45° = АО * 1/√2,

АО = АК/sin 45° = с/2 * √2,

h = ОК = с/2 * √2 * 1/√2,

V = 1/3 *1/2 * с * 1/2 * с * √3/2 * с/2 * √2 * 1/√2 = √3с³/48.