В основании прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со стороной,равной а,и углом BAD,равным 60 градусов. Плоскость BC1D составляет с плоскостью основания угол в 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2P1Fz4s).

В основании параллелепипеда лежит ромб, острый угол которого равен 60⁰, тогда тупой угол равен 120⁰. Диагональ ВД делит тупые углы на 60⁰, следовательно, треугольники АВД и АСД равносторонние, так у них все углы равны 60⁰. Тогда ВД = АВ = а.

Рассмотрим прямоугольный треугольник СОД, у которого гипотенуза СД = а, угол ОСД = 30⁰.

Тогда катет СО = СД * Cos30 = a * √3 / 2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник С1СО, у которого катет СО = a * √3 / 2, угол С1ОС = 60⁰, тогда СС1 = СО * tg60 = (a * √3 / 2) * √3 = a * 3 / 2.

Тогда Sбок = 4 * а * a * 3 / 2 = 6 * а² см².

Площадь ромба в основании равна: Sромба = a² * SinВАД = а² * √3 / 2.

Площадь основания параллелепипеда равна двум площадям ромба.

Sосн = 2 * а² * √3 / 2 = а² * √3.

Тогда общая площадь равна: S = Sбок + Sосн = 6 * а² + а² * √3 = а² * (6 + √3).

Ответ: S = а² * (6 + √3).