В параллелограме ABCD биссектрисы углов A и B пересекают стороны BC и AD в точках E и F соответственно. Доказать что ABCD - ромб.

Рассмотрим полученный параллелограмм ABEF, его диагонали AE и BF пересекаются под прямым углом <BOA = < AOF.

Докажем это, О - точка пересечения диагоналей АЕ и BF. < AOB = 90°, так как углы треугольника ABO; (<ABO + <BAO) = (<ABE + < BAF)/2 = 180°/2 = 90°. Здесь мы использовали параллельных прямых AD И BC, что эти углы в сумме дают 180°.

BO = OF, так как в треугольнике ABF высота АО является биссектрисой (по условию), и медианой, то есть BO = OF, диагонали делятся пополам.

Значит, а если диагонали параллелограмма пересекаются под углом 90, то этот параллелограмм - ромб.