В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6см, площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания. найдите объём пирамиды

   1. В правильной четырехугольной пирамиде двугранные углы между основанием и боковыми гранями равны, из чего следует, что отношение площадей основания и боковой поверхности равно косинусу этого угла:

• Sосн./Sбок. = cosφ = 1/2, отсюда:
• φ = 60°.

   2. Проведем высоту пирамиды SO и прямую MN, соединяющую середины сторон основания AB и CD (http://bit.ly/2JvByCh). Из соображения симметрии ясно, что угол SMN равен соответствующему двугранному углу, а точка O середина отрезка MN:

      MO = NO = 1/2 MN = 1/2 * 6 = 3 (см).

   3. В прямоугольном треугольнике SOM отношение катетов SO и MO равно тангенсу угла SMO:

• SO : MO = tg60°;
• h : 3 = √3;
• h = 3√3 (см).

   4. Объем пирамиды:

• V = 1/3 * h * Sосн.;
• V = 1/3 * 3√3 * 6^2 = 36√3 (см^3).

   Ответ: 36√3 см^3.