Паша8 лет назад
Угол между плоскостями ABC и A1BC - это угол между высотой треугольника АВС АН и высотой треугольника A1BC А1Н.
1. Рассмотрим треугольник АВС: АВ = ВС = АС = 2. Высота правильного треугольника находится по формуле:
h = а√3 / 2,
где а -длина стороны правильного треугольника.
АН = 2√3 / 2 = √3.
2. Рассмотрим треугольник А1АН: угол А1АН = 90 градусов, А1А = 3 и АН = √3 - катеты, А1Н - гипотенуза.
По теореме Пифагора:
А1Н = √(А1А^2 + AH^2) = √(3^2 + (√3)^2) = √(9 + 3) = √12 = 2√3.
3. Мы видим, то катет АН в 2 раза меньше гипотенузы А1Н, тогда он лежит напротив угла, равного 30 градусов (свойства прямоугольного треугольника). Так как АН лежит напротив угла АА1Н, то угол АА1Н = 30 градусов.
По теореме о сумме углов треугольника:
угол АА1Н + угол А1АН + угол АНА1 = 180 градусов;
30 + 90 + угол АНА1 = 180;
угол АНА1 = 180 - 120;
угол АНА1 = 60 градусов.
Ответ: угол АНА1 = 60 градусов.