В прямоугольном треугольнике a и b–его катеты, c - гипотенуза, h - высота, опущенная на гипотенузу. Докажите, что c+h

Question

В прямоугольном треугольнике a и b–его катеты, c - гипотенуза, h - высота, опущенная на гипотенузу. Докажите, что c+h большеa+b.

Accepted Answer

В прямоугольном треугольнике c+h>a+b, так как: h= 
c
ab
​
  (высота к гипотенузе);

Подставляем: c+ 
c
ab
​
 >a+b;

Умножаем на c: c 
2
 +ab>ac+bc;

По Пифагору c 
2
 =a 
2
 +b 
2
 , значит: a 
2
 +b 
2
 +ab>ac+bc;

Перегруппируем: (a 
2
 −ac)+(b 
2
 −bc)+ab>0;

Каждое слагаемое положительно при a,b,c>0, следовательно, неравенство верно.

Итог: c+h>a+b.

В прямоугольном треугольнике a и b–его катеты, c - гипотенуза, h - высота, опущенная на гипотенузу. Докажите, что c+h большеa+b.