В прямоугольном треугольнике ABC из точки N, лежащей на катете AC, на гипотенузу AB опущен перпендикуляр NM. Гипотенуза AB равна 17 см, катет BC равен 8 см, отрезок AN равен 8,5 см. Найдите отрезок NM, если площадь треугольника ABC в четыре раза больше площади треугольника NMA.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2UZnKow).

Первый способ.

Так как НМ перпендикуляр к АВ, то треугольник АНМ прямоугольный.

Тогда у прямоугольных треугольников АНМ и АВС угол А общий, тогда треугольники подобны по острому углу.

По условию, Sавс / Sанм = 4, тогда коэффициент подобия треугольников равен: К = √4 = 2.
ВС и НМ  сходственные стороны подобных треугольников, тогда ВС / НМ = 2.

НМ = ВС / 2 = 8 / 2 = 4 см.

Второй способ.

По теореме Пифагора определим длину катета АС.

АС² = АВ² – ВС² = 289 – 64 = 225.

АС = 15 см.

Тогда Sавс = АС * ВС / 2 = 15 * 8 / 2 = 60 см².

SinABC = SinAHM = AC / BC = 15/17.

Saнм = Sавс / 4 = 60 / 4 = 15 см².

Sанм = АН * НМ * Sinанм / 2.

НМ = 2 * 15 / 8,5 * (15/17) = 2 * 15 * 17 / 8,5 * 15 = 4 см.
Ответ: Длина отрезка НМ равна 4 см

Тут всё крайне просто. AB = 17 BC = 8.5 Получается AB в 2 раза больше, чем BC, зная, что треугольник прямоугольный, угол BAC = 30градусов BAC = 30градусов => MN = AN / 2 = 4 (cм) Ответ: MN = 4см