В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5см и 12см. Найти катеты треугольника.

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/3egNzMH).

Отметим точки касания окружности М, Н и К.

По свойству касательной, проведенной из одной точки, ВК = ВН = 5 см, АН = АМ = 12 см.

Пусть длина отрезка СМ = СК = Х см.

Тогда:

АС = (СМ + АМ) = (Х + 12) см, ВС = (СК + ВК) = (Х + 5) см, АВ = (АН + ВН) = 12 + 5 = 17 см.

По теореме Пифагора, AC^2 + BC^2 = AB^2.

(X + 12)^2 + (X + 5)^2 = 289;

X^2 + 24 * X + 144 + X^2 + 10 * X + 25 – 289 = 0;

2 * X^2 +  34 * X – 120 = 0;

X^2 + 17 * X – 60 = 0;

Решим квадратное уравнение.

Х1 = -20; (Не подходит, так как < 0);

Х2 = 3;

Тогда АС = 3 + 12 = 15 см, ВС = 3 + 5 = 8 см.

Ответ: Длины катетов равны 8 см и 15 см.