Пользователь8 лет назад
Пусть дан △ABC: AB = BC = a, BH = h — высота.
1. Из △AHB: ∠AHB = 90°, AH = AC/2 (так как BH — и высота, и медиана, и биссектриса) и BH = h — катеты, AB = a — гипотенуза.
По теореме Пифагора:
AH = √(AB² - BH²) = √(a² - h²).
2. AM — медиана, проведенная к боковой стороне.
AM и BH пересекаются в точке O.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 начиная от вершины, тогда:
BO/HO = 2/1;
BO = 2 * HO.
Также:
BO + HO = BH;
2 * HO + HO = h;
3 * HO = h;
HO = h/3.
3. Из △AHO: ∠AHO = 90°, AH = √(a² - h²) и HO = h/3 — катеты, AO — гипотенуза.
По теореме Пифагора:
AO = √(AH² + HO²) = √((√(a² - h²))² + (h/3)²) = √(a² - h² + h²/9) = √((9 * a² - 9 * h² + h²)/9) = (√(9 * a² - 8 * h²))/3.
4. Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 начиная от вершины, тогда:
AO/MO = 2/1;
MO = AO/2;
MO = (√(9 * a² - 8 * h²))/3 : 2 = (√(9 * a² - 8 * h²))/3 * ½ = (√(9 * a² - 8 * h²))/6.
5. Длина медианы AM равна:
AM = AO + MO = (√(9 * a² - 8 * h²))/3 + (√(9 * a² - 8 * h²))/6 = (2 * √(9 * a² - 8 * h²) + √(9 * a² - 8 * h²))/6 = (3 * √(9 * a² - 8 * h²))/6 = √(9 * a² - 8 * h²)/2.
Ответ: AM = √(9 * a² - 8 * h²)/2.