В трапеции ABCD с основаниями AD = 13 и ВС = 7 точка K- середина BD, а луч AK – биссектриса угла CAD. Найдите длину диагонали АС.

Для решения построим рисунок (https://bit.ly/4cKwVSJ). Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам. Тогда СО/АО = ВО/ДО = ВС/АД = 7/13. Пусть BО = 7 * Х, тогда ДО = 13 * Х, тогда ВД = 20 * Х Точка К середина ВД, тогда ВК = ДК = 10 * Х. Тогда ОК = ВК – ВО = 10 * Х – 7 * Х = 3 * Х. Так как АК – биссектриса, тогда ОК/ОА = ДК/АД. 3 * Х/АО = 10 * Х/АД. АО = 3 * Х * 13/10 * Х = 39/10 = 3,9. СО/АО =7/13. Тогда СО = (7/13)* АО = (7/13) * 3,9 = 2,1. АС = АО + СО = 3,9 + 2,1 = 6 см. Ответ: АС = 6 см.